miércoles, 7 de abril de 2010

Cálculos elementales en mapas topográficos

INTRODUCCIÓN



El objetivo de la presente guía es que los iniciados en el manejo de planos, especialmente, planos topográficos, adquieran algunos conocimientos prácticos en cuanto al cálculo de parámetros como: escala, distancias, áreas, volúmenes, altimetría y pendientes. En los tiempos modernos existen programas que se encargan de realizar de forma precisa las tareas que antes se hacían de forma manual, con la ventaja de que el error es más pequeño; sin embargo, el aprender a manejar planos topográficos de manera rudimentaria no puede considerarse una tarea obsoleta, ya que el usuario no siempre cuenta con los medios (hardware y software) para llevar a cabo cálculos o gráficos. Además, no todo el mundo se encuentra entrenado en cuanto al manejo de dichos medios. Y otra cosa muy importante es que, todo técnico que necesite hacer investigaciones de campo, como en el caso de las geociencias, debe saber manejar un mapa de forma obligada; pues, de lo contrario, no tendrá idea de donde se encuentra ni de cuánto ni hacia dónde tiene qué moverse. Por lo tanto, los mapas impresos son más fáciles de manipular mientras se recorre una zona en estudio. Es de agregar que no es justo que el destino de los cálculos en planos sea tarea exclusiva de las computadoras, puesto que entonces estaremos pecando más por ignorantes que por sabios.



LA ESCALA



Es una relación cuantitativa entre una dimensión en el plano y una dimensión en el terreno. Es decir, por ejemplo, una distancia entre dos puntos en el plano será equivalente a una dimensión entre los dos mismos puntos marcados en el terreno.



DIMENSIÓN X (plano) = DIMENSIÓN Y (terreno)



La dimensión en el plano estará sujeta a un margen de error, puesto que se trata de un dibujo, de una representación aproximada; mientras que la dimensión equivalente en el terreno pertenece al mundo real, y es la que posee las medidas exactas.



La escala en el plano se divide en dos tipos: numérica y gráfica. La primera, como su nombre lo dice, se representa mediante números, por ejemplo:



1:10.000 significa que 1 cm en el plano equivalen en el terreno a 10.000 cm; o lo que es lo mismo, a 100 m lineales. Para este ejemplo de escala, a la hora de hacer cálculos de distancias la relación a utilizar es: 1cm = 100 m.



El ejemplo anterior puede considerarse como una escala grande, puesto que 1:10.000 es lo mismo que una fracción: 1/10.000. Vale decir que a la escala numérica también se le conoce como “escala fraccional”. Mientras que un ejemplo de escala pequeña puede ser: 1:1.000.000, lo que significa que 1 cm en el plano son en el terreno 1.000.000 cm. Se siguen quitando ceros para hacer más cómoda la relación final: Luego, 1 cm = 10.000 m, y, por último: 1 cm = 10 km.



Problema 1: Sea un mapa a escala 1:20.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 4 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.



Datos:

Escala: 1:20.000

Dist. AB (mapa) = 4 cm

Dist. AB (terreno) = ?



Solución:

Transformación de la escala: 1 cm = 20.000 cm; 1 cm = 200 m

Luego, 1 cm ------- 200 m

4 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 800 m



Problema 2: Sea un mapa a escala 1:10.000.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 2 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.



Datos:

Escala: 1:10.000.000

Dist. AB (mapa) = 2 cm

Dist. AB (terreno) = ?



Solución:

Transformación de la escala: 1 cm = 10.000.000 cm; 1 cm = 100.000 m; 1 cm = 100 km

Luego, 1 cm ------- 100 km

2 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 200 km



Problema 3: Se tiene un mapa donde la distancia entre dos puntos AB, medida con la regla, es de 10 cm; y se sabe que la distancia en el terreno entre esos dos puntos es de 20 km. ¿Cuál es la escala numérica?



Datos:

Dist. AB (plano) = 10 cm

Dist. AB (terreno) = 20 km

Escala numérica = ?



Solución:

10 cm ---------- 20 km

1 cm --------- X

X = 2 km; lo que equivale a 2.000 m; que es igual a 200.000 cm

Resultado: La escala numérica es 1:200.000



Los mapas suelen llevar únicamente la escala gráfica, pero una gran cantidad de veces llevan consigo la escala numérica. Si se tiene solamente la escala numérica se puede, a partir de esta, dibujar la escala gráfica, y viceversa, se puede con la gráfica hallar la numérica; así, por ejemplo, para el resultado del problema 3, se traza con la regla una línea de 4 cm; se marcan pequeños trazos perpendiculares a equidistancias de 1 cm, donde se va acumulando el valor de la relación; es decir, en el extremo izquierdo de la línea se coloca cero, en el primer cm se coloca 2, en el segundo cm 4, y así sucesivamente. No hay que olvidar de anotar las unidades que se están manejando, en este ejemplo son km. (Fig. 1).


Figura 1. Algunos ejemplos de representación de la escala gráfica.



Una cosa es medir la distancia a lo largo de una recta y otra es medirla a lo largo de una línea curva. En un mapa hay elementos que se ajustan a líneas curvas como: ríos, carreteras, divisorias de cuencas, lineamientos geomorfológicos, límites territoriales, etc. Para medir la longitud de una línea curva sobre un mapa se utilizan métodos simples, como lo es: 1) Colocar un hilo sobre la forma de la línea; 2) estirar el hilo y medir con la regla; y 3) llevar la longitud obtenida (en centímetros) a la escala del mapa, para de esa manera obtener la distancia en el terreno.



Otro método similar es ir extendiendo el borde de una hoja a lo largo de la línea irregular, a la vez que se va marcando con un lápiz. El método más rápido y sofisticado consiste en usar un curvímetro (Fig. 2); éste es un instrumento que posee una rueda que se arrastra sobre la línea; la lectura obtenida en el reloj corresponderá a la distancia en el terreno. Sin embargo, lo más barato es usar un hilo o el borde de una hoja (se recomienda no usar cabellos, cadenas, cordones de zapatos o cualesquier material inestable o difícil de manipular).



Figura 2. Ejemplo de un curvímetro. Obsérvese la ruedita de la punta y el reloj de lectura. Los hay también con reloj digital.



MEDICIÓN DE ÁREAS



Es muy corriente el cálculo de áreas o superficies en ciencias de la tierra o cualesquier disciplina que necesite de planos. Las unidades que más se utilizan son las siguientes: m², hectáreas (1 ha = 10.000 m²) y km². Los anglosajones utilizan: pies², yardas² y millas². En nuestros países es muy común la utilización de las hectáreas, por ejemplo, a la hora de expresar la extensión de propiedades. Cuando se trata de regiones grandes, se utilizan los km² (1 km² = 1.000.000 m² = 100 ha). La medición de áreas depende de la figura geométrica que se tenga representada en el plano. Si se trata de figuras bien definidas, para ello existen las fórmulas correspondientes (Fig. 3).



Figura 3. Las figuras geométricas más comunes junto a las fórmulas de cálculo de sus áreas o superficies.



Problema 4. Si se tiene un mapa a escala 1:25.000, donde aparece dibujado un rectángulo de 2 cm de altura por 4 cm de base, ¿cuál es el área en el terreno expresada en ha?


Datos:

Escala 1:25.000

h = 2 cm

b = 4 cm

Área en el terreno = ?



Solución:

Transformar la escala: 1:25.000 = 1 cm en el plano = 250 m en el terreno, entonces:

La altura en el terreno = 500 m

La base en el terreno = 1.000 m

Luego A (terreno) = 500 m . 1.000 m = 500.000 m²

Llevando a ha: 1 ha -------- 10.000 m²

X -------- 500.000 m²

Resultado: Area = 50 ha



Otra manera de hallar el mismo resultado: Se multiplica en el mapa 2 cm x 4 cm = 8 cm²; luego hay que llevar la relación lineal a una relación de superficies; es decir: 1 cm en el plano es en el terreno 250 m; pero, elevando esto al cuadrado, se tiene: 1 cm² = 62.500 m². Entonces:



1 cm² --------- 62.500 m².

8 cm² --------- X

Resultado: 500.000 m², equivalentes a 50 ha.



Se recomienda, a la hora de hacer mediciones con la regla, que la vista sea colocada (cerrando un ojo) en línea perpendicular a la graduación de la regla, ya que si se mira de lado pueden generarse hasta 2 mm de error. Para determinar la altura de un triángulo escaleno es necesario utilizar dos escuadras o una regla y una escuadra; la regla se coloca sobre la línea base, mientras que la escuadra se mueve sobre la regla para así poder trazar una línea perpendicular (h) hacia el vértice de arriba. Si la altura se traza a ojo puede quedar inclinada generando cierto margen de error. Es bueno realizar estas medidas de la mejor manera posible, ya que para el caso del valor de la tierra por cada m² o por cada ha, los vendedores no se pueden dar el lujo de perder dinero por cálculos defectuosos, y los compradores tampoco deben estar dispuestos a comprar una superficie más pequeña que la que le están ofertando.

Otro método para calcular áreas es el de las coordanadas de los vértices de una poligonal de lados rectos. Se usa sobretodo en aquellos casos en que hay exceso de puntos.
Cuando aparezca en el mapa una zona irregular, en algunos casos puede ajustarse la forma de la figura geométrica que mejor se parezca, bajo el riesgo de error tanto por exceso como por defecto. Sin embargo, existe un método sencillo que permite superar el problema: se le conoce como el método de la cuadrícula. Para ello es preciso colocar sobre el mapa una hoja de papel milimetrado transparente (Fig. 4), y se procede a marcar los puntos que caen adentro y aquellos que caen justo en el borde de la zona que se está midiendo. Es recomendable marcar los puntos de adentro de una forma distinta a los puntos de la orilla para no confundirlos. Luego, se cuentan los puntos de adentro y aparte se cuentan los de la orilla. El total de puntos de la orilla se dividen entre 2 y se le suman a los puntos que caen adentro. El total general será el área aproximada en cm²; es decir, el área en el papel. La regla es:

EL NÚMERO DE PUNTOS ± = NÚMERO DE Cm²



Figura 4. Colocación de una cuadrícula sobre una zona irregular y marcaje de los puntos de adentro y del borde.



Pero el objetivo es calcular el área en el terreno. Para ello será necesario entonces utilizar la escala del mapa, tal como sucede en el ejemplo siguiente.



Problema 5: Calcular el área (ha) de la zona irregular representada en la Fig. 4.

Solución:

Al superponer un papel milimetrado transparente, se procede a marcar las esquinas de los cm². Los puntos contados son:

Adentro = 23

Borde = 4/2 = 2

Total = 25 cm²

Luego, como en la escala de la figura se está indicando que cada cuadro posee de lado una distancia de 200 m; eso significa que, 1 cm² = 40.000 m² (aunque si la figura se reduce o se aumenta de tamaño, los cuadros pueden ser diferentes a 1 cm²). Entonces:

1 cm² -------- 40.000 m².

25 cm² ------------ X

Resultado: Area = 1.000.000 m², lo que equivale a 100 ha.



Nota: En caso de que se imprima el mapa es posible que los cuadros no midan de lado 1 cm; lo que no quiere decir que los resultados van a salir malos, pues se obtendrá el mismo resultado..



Es bueno aclarar que el método de la cuadrícula da resultados algo defectuosos. En caso de que el trabajo se haga bien, probablemente el error no supere el  4 o 5%. Para aquellas personas que deseen obtener resultados más precisos, pueden montar el papel milimetrado unas tres veces sobre el mapa y es posible que en las tres veces se obtengan valores ligeramente distintos. En este caso lo más sencillo es sacar un promedio y esa será el área más representativa. También, lo otro que puede hacerse es contar cuadritos de 1/4 de cm; con esto se alarga la tarea, pero se obtienen resultados más aproximados. Inclusive, se pueden contar los milímetros².



El método puede tener otra variante: en vez de contar puntos, se cuentan cuadros completos, medios cuadros y pedacitos de cuadros (estas fracciones de cuadros son las que quedan en el borde). De una manera similar al caso anterior, se debe marcar de maneras distintas los tres grupos; por ejemplo, con una X los cuadros completos; con una M los medios cuadros y con otro símbolo los pedazos más chicos. El asunto es que el que hace el ejercicio tiene que tener cierta habilidad para estimar a ojo las fracciones de los cuadrados, ya que algunos serán la mitad, otros serán cuartos y otros serán menos de un cuarto, lo que significaría el marcaje de unos cuatro grupos de unidades. Y no es de extrañar, en caso de que el trabajo se haga bien, que el resultado sea muy parecido al obtenido mediante el conteo de puntos.

Al igual que en el caso de las distancias en líneas irregulares, existe un instrumento para hallar áreas llamado planímetro, el cual posee un reloj mecánico o digital y un brazo con una mira que se arrastra a lo largo del perímetro de la zona a medir. La limitante en este caso es el precio del instrumento, por lo cual es mejor optar por lo más económico, ya que no todo el tiempo vamos a estar midiendo superficies. Según informaciones de Internet, si se escanea el área a medir, mediante el programa  Acrobat, se puede calcular la superficie como si de un planímetro se tratara.



Es de resaltar que para efectos de un examen, el estudiante deberá realizar el ejercicio una sola vez y con un solo método, debido a las limitaciones de tiempo.



EL CÁLCULO DEL VOLUMEN



El volumen se refiere a figuras 3D, con un largo, un ancho y una altura; es decir, ya no se trata de un plano. Pero para ello es fundamental que se sepan calcular las áreas o superficies. Si el área de una zona está mal calculada, también lo estará el volumen. La fórmula para calcular el volumen de una capa superficial, como un suelo arenoso, grava, arena, turbera, etc., es la siguiente:



V = A . e

Donde: V es el volumen expresado en m³ o en km³, dependiendo del caso

A es el área en m² o en km²

e es el espesor en m de una capa superficial o la altura promedio de un relieve elevado



Problema 6: Utilizando el área del problema 5, hallar el volumen de una capa de aluviones cuyo espesor es de 0, 40 m.



Aplicando la fórmula, se tiene:

Vol. = 1.000.000 m² . 0,40 m = 400.000 m³

Este tipo de datos son útiles si deseamos calcular el peso del material geológico, el cual varía dependiendo de su densidad. Si en el ejemplo anterior conocemos que dichos aluviones tienen un peso aproximado de 1,5 ton/ m³, entonces dichos materiales pesarán un total de 600.000 ton. Cuestión de suma importancia en geología aplicada a diversas labores de ingeniería.

Los valores referentes a volumen son muy importantes en prospecciones y explotaciones mineras; por ejemplo, a la hora de estimar la cantidad de oro que pueda existir en algún yacimiento. También para el caso en que se quiera averiguar la cantidad de arena para la construcción en un depósito determinado. (¿Cuántos viajes de camiones volteos se requerirían para agotar el depósito? Esto es clave para diseñar el plan de explotación). Son muy importantes en trabajos de ingeniería civil, donde usualmente participan los geólogos, a la hora de estimar la cantidad de tierra a remover en recortes de terreno, lo que, a su vez, sirve para planificar y realizar un presupuesto previo a la ejecución de costosas labores de la maquinaria pesada. El cálculo del volumen es útil para la descripción y análisis geológico-geomorfológico de una zona determinada, sin que necesariamente existan intereses económicos.



Un ejemplo simple para calcular el volumen de roca que contiene un relieve elevado se ilustra en la Fig. 5. Obsérvese en la Fig. 6 la representación gráfica para el cálculo del volumen de un cono.



Figura 5. Mapa topográfico esquemático con una elevación de forma cónica, la que pudiera tratarse de un volcán.



Figura 6. Dimensiones de un cono asimétrico.



Problema 7: Hallar el volumen del relieve representado en la Fig. 5.



1) Se debe hallar el área de la base. Ya que se aproxima a un círculo, se utiliza la fórmula correspondiente (Fig. 3). Suponiendo que el radio sea de 2 km en el terreno, se tiene:

A = Π . r² ----- >  A = 3,1416 . (2.000 m)²

A = 12.566.400 m²

2) La altura no es más que la distancia vertical o la diferencia entre la cota superior y la inferior; o sea:

h = DV = Cot. Sup. – Cot. Inf.

h = 450 m – 100 m = 350 m

La cota superior es un punto estimado ubicado por encima del valor de la curva más alta.

3) Ahora se procede a aplicar la fórmula para calcular el volumen de un cono (por poseer una forma similar); o sea, Vol. Cono = 1/3. Área (base).h. Sustituyendo:

Vol. Cono = 1/3 . 12.566.400 m² . 350 m = 1.466.080.000 m³

Como en 1 km³ hay 1.000.000.000 m³, el resultado también puede expresarse en: Vol. Cono = 1,47 km³



Es de subrayar que no todos los relieves positivos (o elevados), tienen forma cónica, puesto que la topografía terrestre adopta miles de formas geométricas. Para el caso de una elevación con forma oval que sobresalga de la superficie, es posible, como en el caso del cono, aplicar la fórmula para hallarle el volumen a un cuerpo de forma ovalada (en planta, un elipsoide), cuyo resultado al final deberá dividirse entre dos (2), como si se tratara de la mitad de un huevo.



Existen otros métodos sencillos (aunque largos) para el cálculo de volúmenes en elevaciones como colinas, lo cual es aplicable también al cálculo de la capacidad volumétrica de una laguna o de un embalse, tal como se ilustra en la Fig. 7.

Figura 7. Otro método consiste en desglosar el terreno en varios bloques altitudinales, se halla el volumen y luego se hace una sumatoria.

Para calcular el volumen de un relieve o la capacidad de una depresión (o embalse), para el caso del plano de la izquierda (Fig.7), se aplica la siguiente fórmula:

V = (h1 . (A1 + A2)/2) + (h2 . (A2 +A3)/2) + (h3 . (A3 + A4)/2)
 Donde:
Para el ejemplo del gráfico, h1 es la diferencia entre las dos curvas; lo que hace suponer que las demás h tendrán un valor de 10 m.
A1 es el área de la curva de 10 m; A2 es el área de la curva de 20 m, y así sucesivamente.

El error para el cálculo de volúmenes suele ser mayor que para el cálculo de áreas, y eso se debe más que todo a la irregularidad del relieve. La idea en todo caso es tener una cantidad aproximada de lo que existe en la naturaleza; lo cual vale mucho más que tener nada en absoluto.



LAS CURVAS DE NIVEL


Las curvas de nivel son líneas que unen puntos de igual altitud. La ALTITUD se refiere a la distancia vertical con respecto al nivel del mar, mientras que la altura no es más que una diferencia de cota. Las curvas de nivel numeradas reciben el nombre de índices (o principales), que son las que vienen dibujadas en líneas más gruesas. Estos valores pueden estar expresados en metros y, para el caso de los mapas anglosajones, en pies. A la hora de transformar es bueno tener en cuenta que 1 m = 3,28 pies; o, si no, 1 pie = 0,3048 m.



Las curvas de nivel no numeradas reciben el nombre de secundarias o intermedias. Para calcular el intervalo (I), o la distancia vertical entre una curva y otra se usa la siguiente fórmula:

I = (cota índice superior – cota índice inferior) / Nº de espacios



Las curvas de nivel nos ayudan a comprender la topografía de una región, y nos pueden ayudar a identificar los relieves y las estructuras geológicas. Otra de las ventajas es que nos permiten definir el comportamiento del drenaje y a identificar una serie de relaciones causa-efecto. Los mapas topográficos tienen infinidad de aplicaciones, no solo en el campo de la investigación científica, sino también en planificación territorial e ingeniería como, por ejemplo, en la selección de zonas adecuadas para construir urbanismos, dónde ubicar una represa, cuál es la mejor ruta para una vía, etc.



A través de un mapa altimétrico se puede construir un perfil topográfico, lo que es de suma utilidad a la hora de describir y analizar el relieve y la geología de una región determinada.



En el plano topográfico expuesto en la Fig. 7 puede identificarse lo siguiente: El relieve montañoso se orienta de Este a Oeste. En ambas vertientes, Norte y Sur, discurren dos ríos en direcciones contrarias. Es importante fijarse que por donde pasan los ríos las curvas de nivel se doblan pendiente arriba. Por lo tanto, cuando faltan los ríos, los investigadores pueden tranquilamente completar la red de drenaje. Con respecto a las altitudes, por lo general hay que estimar los valores de los topes; para ello puede utilizarse la mitad del intervalo del mapa, tal como se colocó en el punto A.


Figura 8. Plano topográfico esquemático.



CONSTRUCCIÓN DE UN PERFIL TOPOGRÁFICO


La elaboración de un perfil topográfico es una tarea relativamente fácil, siempre y cuando se sigan una serie de reglas elementales:

1) Elegir en el plano el trazo que permita graficar los rasgos más representativos. Es posible que un mapa geomorfológico vaya acompañado de uno o, de ser necesario, de dos perfiles.

2) El largo de la línea en el mapa tendrá la misma longitud que el eje horizontal del perfil. El eje horizontal debe graduarse adaptando la misma graduación de la escala gráfica del plano.

3) Los ejes verticales se gradúan generalmente con una escala mayor a la escala horizontal, especialmente en aquellos casos en que el relieve acusa muy ligeros desniveles (relieve poco accidentado). Por ejemplo, si un mapa tiene una escala a 1:40.000, el eje vertical del perfil puede llevarse a una escala doble, es decir: 1:20.000. En caso contrario, cuando el relieve presenta fuertes elevaciones, se utiliza una escala vertical igual a la escala horizontal. A esto se le llama “hacer un perfil a escala real”. No hay que olvidar dibujar dos ejes verticales; uno en cada extremo. De igual manera, no debe olvidarse de colocar las unidades que se están manejando en los distintos ejes (m, km, millas, etc.).

4) Para obtener un perfil lo suficientemente fidedigno, lo más recomendable es plotear todos los puntos que atraviesa la línea en el mapa (Nota: no es necesario rayar ni doblar los mapas, ya que se deterioran; en su lugar se coloca el borde de un papel milimetrado opaco y se van marcando los puntos que coincidan con las curvas, al igual que los valores correspondientes). Las líneas del papel milimetrado facilitan el ploteo haciéndolo más rápido y preciso (Fig. 9).

5) A la hora de unir los puntos, no es necesario remarcar la línea resultante, y para efectos de un examen es mejor no utilizar creyones, debido a la dificultad para borrar en caso de errores. Es de recordar que el perfil hecho en el papel milimetrado no es más que un borrador, pues si se trata de un informe técnico es necesario pasarlo en limpio (digitalizarlo e imprimirlo).


Figura 9. Elaboración de un perfil topográfico.



Los perfiles topográficos muchas veces revelan rasgos del relieve que no son fáciles de percibir a simple vista sobre los planos. Los perfiles tienen además diversas aplicaciones útiles, por ejemplo, se hace un perfil a lo largo de una ruta donde se piensa construir una carretera (también puede ser un canal de desagüe), para así percibir los obstáculos que será necesario atravesar para que la obra sea posible (recortes y rellenos), y hacer previamente un estimado del presupuesto. Otro caso de aplicación interesante, es en cuanto al trazado de tendidos eléctricos y tuberías; en este caso, el perfil se dibuja a escala real y se mide con el curvímetro (o con el hilo) el largo de la curva y se determina un largo aproximado del cable o de la tubería a gastar.



Como apoyo en las geociencias, si se tiene información geológica-estructural obtenida a partir del trabajo de campo, por debajo del perfil se pueden colocar las estructuras existentes, obteniéndose así una idea aproximada y, muchas veces, espectacular de los fenómenos estudiados (Fig. 10).

Figura 10. Corte geológico-geomorfológico realizado mediante el apoyo de informaciones del campo.





LA MEDICIÓN DE LA PENDIENTE


La pendiente (o gradiente) de un terreno es el grado de inclinación que este presenta con respecto a la línea horizontal. La pendiente se puede expresar en porcentaje, grados y en m/km. Las fórmulas a utilizar son las siguientes:



P% = (DV/DH) . 100 = %

P% = tan ά .100 (ά = pendiente angular)

DV = Cot. Sup. – Cot. Inf.

P Ang. = arctan (DV/DH) = º ‘ “

P = DV/DH = m/km



Problema 8: Calcular la pendiente (%, º y m/km) entre los puntos DF de la Fig. 6.

Solución:

Utilizando la escala gráfica y midiendo con una regla la distancia en el plano entre DF, el resultado de la distancia horizontal (DH) es igual a 750 m.

Para la distancia vertical se aplica la fórmula: DV = 1.750 m – 1.000 m = 750 m.

Entonces: P% = (750 m/ 750 m) . 100 = 100%

P Ang. = arctan (1) = 45º

P = 750 m/ 0,75 km = 1.000 m/km

Estos resultados se pueden interpretar así: a) por cada 100 m que se avanzan en la horizontal se subirán o se bajarán también 100 m en la vertical. Es de aclarar que la marcha se ejecuta a lo largo de la vertiente (longitud de la vertiente = hipotenusa del triángulo); b) si se dibuja un triángulo graduando con la misma escala los dos catetos, y si se procede a medir con un transportador el arco entre la hipotenusa y la línea horizontal, se obtiene la pendiente angular (o en grados); y c) en un terreno con estas características, por cada km que se avance en la horizontal se subirá o se bajará 1 km en la vertical. La longitud de la vertiente, en caso de que desee obtener un valor aproximado, se puede calcular con la fórmula de Pitágoras:

Hip.² = Cat.Op². + Cat. Ady. ²

También se puede obtener mediante la fórmula del seno:

Sen ά = Cat.Op./ Hip.



Obsérvese la Fig. 11 para comprender gráficamente el problema planteado.


Figura 11. Relaciones entre la longitud de la vertiente (hipotenusa), la distancia vertical (cateto opuesto), la distancia horizontal (cateto adyacente) y la pendiente angular.


La pendiente de un río se mide de una forma distinta a la de una línea recta. La diferencia radica únicamente en que, por tratarse de una línea curva, debe medirse como se explicó en la primera parte, y el resultado obtenido (distancia en el terreno) será la distancia horizontal (DH) que va dentro de las fórmulas.


Problema 9. Hallar la pendiente (m/km) del río principal de la Fig. 11, desde donde nace (altitud de 1.500 m) hasta donde desemboca, conociéndose que la longitud del río en el terreno es igual a 10 km.

Figura 12. Red de drenaje esquemática con algunos puntos altitudinales.


Datos:

DH = 10 km

DV = Cot.Sup. – Cot.Inf. = 1.500 m – 0 m = 1.500 m

Luego: P = 1.500 m / 10 km = 150 m/km

Esto significa que si una canoa desciende por ese río, cada vez que avance 1 km en la horizontal, descenderá 150 m en la vertical.


Los valores de pendientes son útiles como apoyo en diversos cálculos relacionados con hidrología, lo que a su vez es valioso en el estudio sobre el potencial económico de las aguas para el consumo humano, generación de energía y riego. Las pendientes pueden utilizarse también como apoyo en los cálculos de estabilidad de las vertientes. La realización de mapas de pendientes facilita a los planificadores la asignación de los usos de la tierra más apropiados. Por ejemplo, las áreas de bajas pendientes son los más ideales para la construcción de urbanismos; mientras que las áreas de altas pendientes pueden ser destinadas a la protección integral del ambiente.



PROBLEMAS PROPUESTOS


1. Si en un mapa a escala 1:5.000 la distancia entre AB es de 7,5 cm, ¿cuál será la distancia en el terreno?



2. Imprimir el mapa de la Fig. 8 y calcular la escala numérica.



3. Imprimir el mapa de la Fig. 12, hallar la escala numérica en base a la longitud del río principal (10 km) y construir la escala gráfica (se supone que si se imprime dos veces con dos tamaños distintos, la escala será diferente).



4. Calcular mediante una interpolación, la altitud correspondiente al punto X de la Fig. 12.



5. Hallar el área total (ha y km²) de la zona representada en la Fig. 8.



6. ¿Cuál es el área (ha) de una parcela circular cuyo diámetro en el mapa es de 4,5 cm, siendo la escala 1:10.000?



7. Hallar el área (ha) de una parcela triangular cuyos lados en el mapa miden: A = 2,5 cm, B = 3,5 cm y C = 4 cm. La escala es 1: 80.000.



8. Hallar el área (ha y km²) de la poligonal CDBEC de la Fig. 8.



9. Hallar el volumen de una capa de suelo que tiene un espesor de 33 cm, la cual se ubica en la poligonal CDBEC.



10. Hallar la pendiente (% y º) entre los puntos AB de la Fig. 8. Expresar el resultado en un gráfico donde la escala vertical = escala horizontal, y comprobar con un transportador la pendiente angular.



11. Calcular la longitud de la vertiente (LV) entre los puntos AB de la Fig. 8.



12. Hallar la pendiente (m/km) del río tributario que nace en los 1.400 m y desemboca en el punto X de la Fig. 12.



13. Calcular la longitud de un cable que se planea extender entre los puntos EF de la Fig. 8.



14. Explicar cómo se hallaría el volumen de un cerro con forma de media esfera.